Doctorado en Ciencias Aplicadas con Mención en Ingeniería Matemática

Tesis iii

La actividad curricular “Tesis III” está situada en el séptimo (7°) semestre de la trayectoria formativa. En la asignatura “Tesis III” el alumno continuará realizando un trabajo de investigación bajo la tutela de un profesor guía que debe ser miembro del claustro del programa, con la colaboración de un o más co-guías. El tema de la investigación es el tema de la tesis aprobado en la defensa del proyecto de tesis.

Tesis iv

La actividad curricular “Tesis IV” está situada en el octavo (8°) semestre de la trayectoria formativa. En la asignatura “Tesis IV” el alumno continuará realizando un trabajo de investigación bajo la tutela de un profesor guía que debe ser miembro del claustro del programa, con la colaboración de un o más co-guías. El tema de la investigación es el tema de la tesis aprobado en la defensa del proyecto de tesis.

Complejidad algorítmica

Asignatura semestral de carácter fundamental que entrega herramientas para el desarrollo del pensamiento algorítmico, el modelado y la resolución de problemas. Esta asignatura teórica introduce al alumno en las nociones de computabilidad y complejidad algorítmica, describiendo las principales clases de complejidad temporal. Los contenidos y los métodos utilizados se basan a la vez en la lógica y en los algoritmos.

Teoría de grafos

Electivo de carácter semestral que contribuye al diseño de estrategias para abordar problemas provenientes de las Ciencias Aplicadas o de la Ingeniería, a través de los Modelos Matemáticos. Asignatura de tipo lectiva, introduce al alumno en las nociones fundamentales de la teoría de grafos. La asignatura describe los principales problemas, resultados y metodologías usadas en algunas demostraciones; además de su relación con otras ramas de las matemáticas y otras disciplinas.

Análisis convexo y optimización

Asignatura teórico-practica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el primer semestre del plan de estudios, provee las herramientas matemáticas básicas que permiten estudiar el problema de optimización. Este estudio incluye la descripción de algunas propiedades geométricas y topológicas de los entes matemáticos involucrados en el problema. Desde el punto de vista topológico y geométrico se estudiará el comportamiento en el infinito de funciones (cuasiconvexas) dando lugar al análisis asintótico. Se establecen resultados de existencia de mínimos, así como condiciones de optimalidad sin hipótesis de diferenciabilidad para diferentes clases de problemas de minimización, destacando problemas de minimización donde las funciones involucradas son funciones homogéneas o cuadráticas no necesariamente homogéneas. Finalmente se establece la teoría de dualidad Lagrangiana y se analiza la validez de la propiedad de dualidad fuerte para problemas de optimización sin hipótesis de convexidad estándar.

Optimización y cálculo de variaciones

Asignatura teórico-practica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el segundo semestre del plan de estudios. Este curso ofrece panoramas generales de Optimización en dimensión infinita y Calculo de Variaciones, que se inicia bajo un mismo tronco común. Luego, se presentan ambos tipos de problemas mostrando, por un lado, el rol importante de la convexidad sobre el problema y por otro, la semicontinuidad inferior respecto a una topología oportuna. En el cálculo de variaciones se inicia con el método directo de Tonelli para luego tratar problemas sin la condición de convexidad sobre el argumento donde la derivada de orden superior de la función integrando aparece. En este caso, el teorema debido a Lyapunov (junto con alguna de sus variantes) sobre la convexidad del rango de una medida signada no atómica juega un papel importante. Se estudian diferentes clases de problemas para las cuales es posible obtener resultados de existencia y describir en buena parte su conjunto solución, a través de la ecuación de Euler – Lagrange u otras condiciones de optimalidad necesarias. Respecto de optimización, se establece una teoría de dualidad no convexa para el problema de optimización con restricción cónica, estudiando cuando el salto de dualidad es nulo, y cuando la propiedad de dualidad fuerte se cumple. Lo anterior se ejecuta perturbando el conjunto factible de un modo simple, y se analiza su función valor optimo asociado. El contexto de desempeño general de la asignatura consiste en que el estudiante conozca las técnicas empleadas para tratar problemas en el campo de la optimización y cálculo de variaciones, es decir, sin hipótesis de convexidad estándar.

Método de galerkin discontinuos: teoría y aplicaciones

Asignatura teórico-práctica que introduce diversos métodos de la familia de métodos de Galerkin discontinuos (DG) para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs). Se dicta en cualquiera de los semestres, a medida que los/las estudiantes lo soliciten, y contribuye al perfil del graduado preparándolo/la para comenzar a desempeñar actividades de investigación en temas que involucren el desarrollo de nuevos métodos DG. Es una asignatura de profundización de la línea de Análisis Numérico de EDPs. Consta de clases expositivas con el objetivo que el/la estudiante gane experiencia en la deducción de esquemas DG para diferentes tipos de EDPs, adquiera el conocimiento matemático para el estudio riguroso de las propiedades de estabilidad y convergencia de los métodos presentados, y comprenda diversas técnicas computacionales para la implementación numérica de algoritmos asociados a métodos DG.

Introducción al cálculo científico

La asignatura brinda una introducción a los lenguajes de programación de alto nivel y su aplicación a resolver problemas provenientes de las diversas líneas de especialización del programa. El contexto de desempeño general de la asignatura consiste en que el estudiante gane experiencia en el uso y la creación de software científico que le sean útiles para el desarrollo de su área de especialización. Además se espera que el estudiante pueda tener herramientas computacionales que le permitan una fácil interacción con otras disciplinas científicas y con personas provenientes del sector productivo.

Introducción al modelamiento en biomatemática

Asignatura de introducción al modelamiento en biomatemática, con enfoque en modelos de la dinámica de poblaciones, enfermedades infecciosas, movimiento biológico, ecología matemática, y formación de patrones. Esta asignatura entrega los fundamentos de modelos formulados por ecuaciones diferenciales parciales cuyo tratamiento por métodos del análisis matemático y numérico es de interés matemático y práctico y aporta al tratamiento de problemas ecológicos y de salud pública. Esta asignatura se ofrece en el segundo o el tercer semestre del Plan de Estudios. De esta forma sus contenidos preparan al estudiante a una especialización en un seminario de investigación o un tema de tesis.

Introducción a los volúmenes finitos

La asignatura es una introducción a los principios, propiedades, análisis de estabilidad y orden de convergencia e implementación del método de volúmenes finitos, utilizado en la solución numérica de ecuaciones en derivadas parciales. Este curso proporciona a los estudiantes herramientas teóricas y prácticas para abordar problemas complejos en modelación matemática, análisis y simulaciones numéricas. La asignatura tiene un carácter teórico-práctico e integra actividades como clases expositivas, análisis de algoritmos numéricos y desarrollo de implementaciones computacionales. Contribuye al perfil del graduado al desarrollar habilidades avanzadas en análisis numérico, capacidad de abstracción y resolución de problemas aplicados.

Leyes de conservación y métodos numéricos

La asignatura proporciona una introducción al análisis matemático y numérico de leyes de conservación, es decir de ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de primer orden en forma conservativa, incluyendo sistemas de ecuaciones de este tipo. Dichas ecuaciones representan el fundamento de la mecánica de fluidos computacional y también describen fenómenos tales como la sedimentación de suspensiones, flujo en medios porosos y tráfico vehicular. La principal característica de estas ecuaciones es la formación de discontinuidades en sus soluciones, llamadas ondas de choque. El contexto de desempeño general de la asignatura consiste en que el estudiante conozca y aplique técnicas del análisis matemático y numérico de este tipo de EDPs. El tratamiento numérico de estas ecuaciones está basado en el método del Front Tracking. El estudio de estas ecuaciones y sus aplicaciones son tema de investigación en el Programa. Como esta asignatura tiene como prerrequisito la asignatura Análisis Funcional, es natural que la presente asignatura se ofrezca en el segundo o el tercer semestre del Plan de Estudios. De esta forma sus contenidos preparan al estudiante a una especialización en la asignatura Tópicos en Sistemas de Leyes de Conservación, un seminario de investigación o un tema de tesis.

Teoría de elementos finitos

Asignatura en la cual se introducen fundamentos teóricos y aspectos computacionales del método de elementos finitos para la aproximación numérica de la solución de ecuaciones en derivadas parciales. Puede ser dictado en cualquiera de los dos semestres, a medida que quienes lo soliciten cumplan con los prerequistos. Contribuye al perfil del graduado entregándole las herramientas básicas para comenzar a desempeñar actividades de investigación en temas que involucren el desarrollo de nuevos métodos de elementos finitos. Es una asignatura de especialización de la línea de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales. Consta de clases expositivas en las que se aborda, en un marco matemático riguroso, el sustento teórico que permite analizar la estabilidad y convergencia del método de elementos finitos. También se aborda la aplicabilidad del método a cierto tipo de problemas, tales como ecuaciones provenientes de modelos en mecaánica del medio continuo.

Tópicos de elementos finitos

Asignatura en la cual se introducen y analizan diversos métodos asociados a la familia de esquemas de Galerkin para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales, y se estudian sus aplicaciones a problemas en mecánica de medios continuos. Se dicta en cualquiera de los semestres, a medida que los/las estudiantes lo soliciten, y contribuye al perfil del graduado preparándolo/la para comenzar a desempeñar actividades de investigación en temas que involucren el desarrollo de nuevos métodos de elementos finitos. Es una asignatura de profundización de la línea de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales. Consta de clases expositivas en las que se abordan, en un marco matemático riguroso, diversos métodos numéricos tales como el método de elementos finitos mixtos, métodos hibridizados, esquemas de refinamiento adaptativo, aproximación numérica en dominios no poligonales/poliédricos, entre otros, y su aplicación a modelos que provienen de la mecánica de medios continuos.

Tópicos en sistemas de leyes de conservación y problemas afines

Asignatura teórico-práctica que entrega al estudiante conocimientos de temas seleccionados en el ámbito de sistemas de leyes de conservación y ondas de choque. Se estudian modelos matemáticos especializados y métodos numéricos avanzados que complementan y profundizan los temas tratados en la asignatura “Leyes de Conservación y Métodos Numéricos”. La asignatura contribuye a dar solución a problemas provenientes de los sectores productivos, de servicio o académicos, mediante la aplicación de métodos matemáticos, estadísticos, numéricos y computacionales. Esta asignatura tiene como prerrequisito la asignatura Análisis Funcional y “Leyes de Conservación y Métodos Numéricos”, por lo tanto natural que se ofrezca en el tercer semestre del Plan de Estudios. De esta forma sus contenidos preparan al estudiante a una especialización en un seminario de investigación o un tema de tesis.

Ecuaciones diferenciales estocásticas

Esta asignatura aborda a profundidad las propiedades teóricas de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Además, trata la modelación de problemas que involucren componentes aleatorios, incluyendo la representación probabilística de ecuaciones en derivadas parciales.

Ecuaciones de evolución estocásticas lineales

Esta asignatura aborda la integración estocástica de procesos estocásticos infinito-dimensionales con respecto a movimientos Brownianos con valores en espacios de Hilbert. Además, introduce al estudiante en la teoría de las ecuaciones de evolución estocásticas lineales sobre espacios infinito-dimensionales.

Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas

La asignatura se centra en la simulación y aproximación de soluciones para ecuaciones diferenciales estocásticas y el modelado de sistemas complejos. Abarca métodos de simulación de Monte Carlo y métodos numéricos clásicos para la simulación de procesos estocásticos y la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas, haciendo énfasis en la comprensión teórica y práctica de conceptos fundamentales de probabilidad, procesos estocásticos y análisis numérico. Se espera que el estudiante adquiera experiencia en la aplicación de propiedades teóricas del análisis estocástico y en la evaluación de la precisión, convergencia y complejidad computacional de los métodos estudiados.

Tópicos en información cuántica

Las tecnologías cuánticas se han desarrollado en las últimas décadas como una manera de sacar provecho de las propiedades de los sistemas cuánticos para resolver tareas computacionales o comunicacionales difíciles de revolver con sistemas clásicos. En este curso, se desarrollan las herramientas matemáticas que permiten describir las propiedades de los sistemas cuánticos del punto de vista de la información.

Tópicos del aprendizaje estadístico

La asignatura constituye una introducción al aprendizaje automático desde un punto de vista estadístico, proporcionando a los estudiantes las herramientas necesarias para analizar matemáticamente modelos de aprendizaje de máquinas y sus fundamentos teóricos. El curso cubre desde conceptos preliminares en estadística hasta aplicaciones en clasificación binaria y regresión, así como aplicaciones prácticas en simulación estocástica y problemas de estabilidad de algoritmos estocásticos. Los estudiantes desarrollarán habilidades para comprender y aplicar teorías modernas en el contexto de la investigación científica y de la ingeniería.

Algoritmos de aproximación y heurísticas

Electivo de carácter semestral que contribuye al diseño de estrategias para abordar problemas provenientes de las Ciencias Aplicadas o de la Ingeniería, a través de los Modelos Matemáticos. Asignatura teórico-práctica que entrega herramientas algorítmicas avanzadas para tratar problemas de optimización computacionalmente difíciles (NP-completos) en estructuras discretas, principalmente grafos.

Probabilidades, combinatoria y algoritmos

Electivo de carácter semestral que contribuye al diseño de estrategias para abordar problemas provenientes de las Ciencias Aplicadas o de la Ingeniería, a través de los Modelos Matemáticos. Asignatura de tipo lectiva, introduce al alumno en las nociones fundamentales sobre técnicas probabilistas en contextos discretos, y sobre los paradigmas usados en el desarrollo y análisis de algoritmos aleatorios.

Redes dinámicas finitas

Electivo de carácter semestral que contribuye al diseño de estrategias para abordar problemas provenientes de las Ciencias Aplicadas o de la Ingeniería, a través de los Modelos Matemáticos. Asignatura de tipo lectiva y participativa, introduce al alumno en las nociones fundamentales de las redes dinámicas finitas. La asignatura aborda los conceptos y resultados básicos de las redes dinámicas finitas y sus posibles usos en el modelamiento de sistemas complejos.

Sistemas dinámicos discretos

Electivo de carácter semestral que contribuye al diseño de estrategias para abordar problemas provenientes de las Ciencias Aplicadas o de la Ingeniería, a través de los Modelos Matemáticos. Asignatura de tipo lectiva y participativa, introduce al alumno en las nociones fundamentales de los sistemas dinámicos a tiempo y espacio discreto. La asignatura aborda el tema en espacios topológicos, incluyendo la problemática asociada a la decidibilidad y complejidad en sus distintos contextos, aportando herramientas para el análisis y comprensión de los modelos matemáticos.

Control óptimo de inclusiones diferenciales y aplicaciones

Asignatura teórico-práctica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el segundo semestre del plan de estudios, que entrega las herramientas matemáticas para resolver problemas de control óptimo y sus aplicaciones. En este curso se estudiarán sistemas físicos que poseen propiedades de entrada-salida relacionadas con la conservación, disipación y transporte de energía. Este curso entrega herramientas matemáticas de programación no lineal, análisis variacional e inclusiones diferenciales, para enfrentar la naturaleza física del problema de un modo eficiente. Los estudiantes desarrollarán habilidades para desempeñarse en entornos académicos y de investigación, resolviendo problemas matemáticos, construyendo argumentos rigurosos dentro del área, además de identificar posibles vías de desarrollo ulterior.

Métodos numéricos en control óptimo

Asignatura teórico-practica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el tercer o cuarto semestre del plan de estudios. Esta asignatura entrega las herramientas matemáticas para resolver numéricamente problemas de control óptimo y sus aplicaciones en ciencia e ingeniería. Control óptimo es una rama del área de control de ecuaciones diferenciales que se encarga de controlar un sistema dinámico, durante un período de tiempo, optimizando una función objetivo. Los estudiantes aprenderán a formular problemas de control optimo además y a utilizar softwares para su resolución numérica. Adicionalmente, los estudiantes desarrollarán habilidades para desempeñarse en entornos académicos y de investigación, resolviendo problemas matemáticos, construyendo argumentos rigurosos dentro del área, además de identificar posibles vías de desarrollo ulterior.

Métodos numéricos en optimización convexa e inclusiones monótonas

Asignatura teórico-practica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el segundo semestre del plan de estudios. Este curso está enfocado en el estudio de métodos numéricos para resolver problemas de optimización. El estudiante adquirirá técnicas avanzadas de demostración propias del área y se familiarizará con la literatura especializada, preparándolo para desarrollar investigación en la disciplina. En esta asignatura se abordarán las propiedades de operadores no lineales y monótonos, así como métodos numéricos proximales para resolver problemas de optimización convexa (diferenciable y no diferenciable), inclusiones monotónicas y problemas de puntos fijos. Asimismo, se presentarán modelos aplicables en áreas como el procesamiento de imágenes, la ciencia de datos, entre otras disciplinas, junto con sus implementaciones computacionales. Considerando estos temas, los estudiantes desarrollarán habilidades para desempeñarse en entornos académicos y de investigación, resolviendo problemas matemáticos formales y construyendo argumentos rigurosos dentro del área de estudio.

Teoría de operadores monótonos

Asignatura teórico-practica de especialización en la línea de optimización y cálculo de variaciones, dictada en el primer semestre del plan de estudios. En este curso se estudian operadores monótonos, sus propiedades y aplicaciones, incluyendo su relación con problemas de optimización. El estudiante adquirirá técnicas avanzadas de demostración propias del área y se familiarizará con la literatura especializada, preparándolo para desarrollar investigación en la disciplina. La asignatura inicia con aspectos generales de análisis funcional y convexo, tales como espacios de Banach reflexivos, funciones convexas semicontinuas inferiores, la conjugada de una función y el principio variacional de Ekeland, entre otros. Posteriormente, se introduce la noción de operadores monótonos, sus propiedades y ejemplos, el Teorema de Asplund, suryectividad y el Teorema de Hartman-Stampacchia. Además, se abordan nociones más débiles de monotonía, perturbaciones de operadores monótonos y sus aplicaciones en desigualdades variacionales. Considerando estos temas, los estudiantes desarrollarán habilidades para desempeñarse en entornos académicos y de investigación, resolviendo problemas matemáticos, construyendo argumentos rigurosos dentro del área, además de identificar posibles vías de desarrollo ulterior.

Análisis de error a posteriori para elementos finitos

Asignatura en la cual se introducen y analizan diversas estrategias que permiten obtener estimadores de error a posteriori para el método de elementos finitos, para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales. Esto implica desarrollar el análisis teórico e implementación computacional, y sus aplicaciones a problemas en mecánica de medios continuos. Se dicta en cualquiera de los semestres, a medida que los/las estudiantes lo soliciten, y contribuye al perfil del graduado preparándolo/la para comenzar a desempeñar actividades de investigación en temas que involucren el desarrollo de nuevas técnicas para obtener estimadores de error a posteriori para esquemas de elementos finitos. Es una asignatura de profundización de la línea de Análisis Numérico de Ecuaciones Diferenciales Parciales. Consta de clases expositivas en las que se abordan, en un marco matemático riguroso, diversas estrategias para obtener estimadores de error a posteriori (que pueden requerir operadores de interpolación, quasi-interpolación, entre otros), y estudiar la confiabilidad, eficiencia local del estimador de error a posteriori así como la convergencia del algoritmo de refinamiento adaptativo, bajo ciertas hipótesis adicionales. Esto requiere el estudio preliminar de estimaciones inversas, funciones burbujas para localización en un elemento o patches de elementos, así como de sus propiedades más relevantes.

Introducción a los semigrupos de operadores lineales y aplicaciones a ecuaciones en derivadas parciales

El objetivo de esta asignatura es presentar los conceptos fundamentales de la teoría de semigrupos de operadores lineales y su aplicación al estudio del buen planteamiento y del análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales parciales. El curso se orienta a proporcionar una base rigurosa en análisis funcional aplicada a problemas de dinámica, control y modelado matemático.

Optimización continua para ciencia de datos

Asignatura teórico-practica de especialización en el área de optimización y cálculo de variaciones. Se dicta en cualquiera de los semestres, a medida que los/las estudiantes lo soliciten. Este curso está enfocado en el estudio de métodos numéricos para resolver problemas de optimización enfocados en la ciencia de datos. El/la estudiante adquirirá técnicas avanzadas de demostración propias del área y se familiarizará con la literatura especializada, preparándolo para desarrollar investigación en la disciplina. En este curso se estudiarán herramientas de optimización continua (convexa y no convexa) para la resolución de problemas en ciencia de datos que surgen, por ejemplo, en el procesamiento de imágenes y machine learning. El curso también involucra la implementación computacional de estos métodos. Las herramientas por estudiar contribuyen a que el estudiante pueda resolver problemas prácticos relevantes en variados contextos.

Tópicos en ecuaciones diferenciales

Asignatura de carácter teórico-práctico que introduce a él/la estudiante en el estudio moderno de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) dispersivas, con énfasis en las ecuaciones de Schrödinger no lineal (NLS), de ondas no lineal (NLW) y de Korteweg-de Vries (KdV). En este curso se analizan desde el análisis de Fourier clásico y los espacios de Sobolev, desarrollando las estimaciones de Strichartz y el método de punto fijo en espacios funcionales. Por último, se presenta la teoría de buen-posicionamiento local y global para ecuaciones semilineales subcríticas, así como el comportamiento asintótico de sus soluciones. La metodología de enseñanza se basa en clases teóricas expositivas, clases de resolución de problemas, tanto en forma teórica, como computacional. La evaluación está basada en resolución de problemas y presentaciones orales.